矩阵等价的充要条件是什么（矩阵的等价关系与矩阵分类）

100次浏览发布时间：2024-08-21 08:35:49

等价关系是一种二元关系.
设非空集合S和其上的二元关系~,满足：
（1）自反性：A~A；
（2）对称性：A~B,则B~A；
（3）传递性：A~B，B~C,则A~C.
则称~是集合S上的一个等价关系.
例子:
(1) 三角形的全等关系,三角形的相似关系是等价关系.
(2) 在一个班级里“年龄相等”的关系是等价关系.

但并不是所有关系都是等价关系，比如祖孙三代间的父子关系，只满足对称性，但不满足自反性和传递性。

数学上的等价关系可以用于分类。

设S＝｛Ai | i∈I｝是A的一个分类，规定～为： a~b ⇔ a与b属于同一个类
则～是A上的一个等价关系。

设～是A上的一个等价关系，对于a∈A，
令[a]＝{x | x ∈A ，x~a }.称[a]是集合A上包含a的一个等价类。

矩阵等价意味着两个矩阵的秩相等。

矩阵等价性质：

矩阵A和A等价(反身性）；

矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

由于秩相等这种关系在不同的矩阵之间满足自反、对称和传递的要求，所以矩阵的秩相等是一种等价关系。

这种等价关系可以将阶次相同的矩阵按照秩的不同进行分类：